Spirituele en religieuze symbolen

Een aantal symbolen uit de religieuze en spirituele sfeer is eenvoudig te genereren vanuit getallenreeksen. De meeste symbolen zijn oorspronkelijk ook ontstaan door het werken met getallen en getallenreeksen. Ik wil dan ook graag een pagina wijden aan het construeren van deze symbolen met behulp van de reeksen waar ik zelf mee experimenteer.

Het Pentagram

Het pentagram is een vijfpuntige ster en een van de oudste symbolen ter wereld: het werd reeds meer dan 4000 jaar voor Christus gebruikt. Het woord stamt van het Griekse πεντάγραμμον (pentagrammon), hetgeen vijf lijnen betekent. Door zijn mathematische volmaaktheid (gulden snede) werd het pentagram het symbool van de wiskundige Pythagoras. Meetkundig gezien behoort een pentagram tot de familie van de sterveelhoeken. Het pentagram wordt tegenwoordig veel gebruikt als symbool in de esoterie en het occultisme. Het symbool wordt zowel met de punt omhoog als met de punt naar beneden gebruikt. De versie met de punt naar beneden wordt meestal geassocieerd met modern satanisme, maar je vind dit symbool ook terug bij b.v. de orde der illuminaten. De versie met de punt omhoog speelt een zeer belangrijke rol bij de vrijmetselarij en wordt daar de "vlammende ster" genoemd. De vijf punten symboliseren de stralen van de zon en in het midden staat een G geschreven die staat voor God, Gnossis, Geometrie en Gulden Snede.

 Onderstaande drie voorbeelden van toepassingen.

Het pentagram is op zeer eenvoudige wijze te construeren. Het uitgangspunt is een reeks getallen die steeds met de zelfde waarde wordt vermeerderd. De eenvoudigste reeks om het pentagram te construeren is de reeks die start met de waarde 1 en daarna steeds met 2 wordt vermeerderd. Indien je deze reeks met modulo 5 bewerkt ontstaan de punten op de omtrek van een cirkel die na ze met elkaar verbonden te hebben het pentagram vormen. Het pentagram met de punt naar beneden is op gelijke wijze te creëren door de reeks steeds met 4 te verhogen en als modulo waarde 10 te gebruiken.

De Davidster, ook wel Magen David of Maĝeen David genoemd

De zuivere Davidster bestaat uit twee driehoeken, en is dus niet met één getallenreeks te construeren. Het is echter wel mogelijk een Davidster met één getallenreeks te construeren die in een regelmatige zeshoek is geplaatst. Als uitgangspunt van deze figuur gebruik ik de vijfhoeksgetallen. Na bewerking met modulo 6 krijg je een steeds herhalende reeks van 12 getallen die gezamelijk de Davidster vormen. Onderstaande animatie laat zien hoe de figuur opgebouwd is.

Het is ook mogelijk om de Davidster te construeren met behulp van twee getallenreeksen. Iedere driehoek in de Davidster wordt op deze manier gevormd door een andere getallenreeks. De getallenreeksen die ik hier voor gebruikt heb zijn twee reeksen die gevormd worden door herhaald optellen zoals die ook gebruikt zijn bij het pentagram. De eerste reeks start met de waarde 53 en de tweede met de waarde 26. Er zijn meerdere combinaties van getallenreeksen mogelijk om het gewenste effect te krijgen, de reden dat ik deze combinatie gebruik is omdat ze een speciale betekenis hebben voor mijn joodse correspondentie vriend, Gideon Benavraham. Onderstaande plaatje laat zien hoe de figuur tot stand komt.

Onderstaande tabel laat zien welke waarden ook gebruikt kunnen worden om de Davidster te construeren.

Het Enneagram

Ondanks het feit dat ik mij niet inlaat met de speculatieve wereld van het Enneagram, is dit symbool voor mij de aanzet geweest voor alle experimenten die ik uitgevoerd heb met getallenreeksen. De resultaten van deze experimenten vind je op deze website. De kracht van het Enneagram ligt voor mij in de weerspiegeling van twee belangrijke eigenschappen van de natuur, symmetrie en herhaling. De gebruikers van het Enneagram in het alternatieve circuit leggen graag een verband met het kenmerk “oneindige beweging”. Dit kenmerk heeft echter niets met de natuur te maken, omdat alles in de natuur tijdelijk van aard is. Het begrip oneindig heeft voor mij wel werkelijkheidswaarde met betrekking tot het bestaan, maar dit heeft niets met beweging als zodanig te maken.

Het Enneagram is meer dan zomaar een symbool. Het Enneagram is een systeem dat gebruikt wordt voor persoonlijkheidsanalyse vergelijkbaar met astrologie en numerologie. De beoefenaars van deze pseudowetenschap willen graag doen geloven dat dit systeem al meer dan duizend jaar oud is. Na bestudering van de feiten, ben ik tot de conclusie gekomen dat het systeem niet ouder kan zijn dan 400 jaar. Zeer waarschijnlijk is het zelfs niet veel ouder dan 100 jaar. De eerste keer dat er melding gemaakt wordt van het enneagram is in het begin van 20e eeuw. In dit tijdvak wordt het Enneagram in het Westen geïntroduceerd door de Armeen Georges Ivanovitch Gurdjieff. Gurdjieff zocht in het laatste kwart van de 19e eeuw spirituele en esoterische kennis, vond die bij verschillende leermeesters, kloosters en stromingen in Azië en het Midden-Oosten. Hij maakte zijn inzichten vervolgens voor zichzelf tot een coherent geheel. Vanaf 1912 treedt hij daarmee nadrukkelijk in de openbaarheid in Rusland, met name in Sint-Petersburg en Moskou. Een groot deel van de essentie van zijn filosofieën en inzichten staat beschreven in het door een van zijn prominentste Russische leerlingen, de filosoof Peter D. Ouspensky (1878-1947) geschreven boek ‘Op zoek naar het wonderbaarlijke’ (met als ondertitel Fragmenten van een onbekende leer). Gurdjieff is een van de eersten, zo niet de eerste die, zo blijkt uit dit boek, melding maakt van het enneagram. Het enneagram vertegenwoordigt in zijn leer de relatie tussen de twee grootste levenswetten, door hem abstract beschreven als 'de wet van drie' en 'de wet van zeven'.

Onderstaande een citaat uit het boek ‘Op zoek naar het wonderbaarlijke’ met betrekking tot het enneagram.

“… het enneagram is een universeel symbool. Alle kennis kan in het enneagram worden uitgedrukt en met de hulp ervan worden geïnterpreteerd. En in dit verband weet de mens slechts juist zoveel als hij in het enneagram kan leggen, dat wil zeggen: die kennis die hij ook metterdaad begrijpt. Als hij het niet in het enneagram kan leggen begrijpt hij het ook niet. Voor de mens die bij machte is er gebruik van te maken, maakt het enneagram boeken en bibliotheken volkomen overbodig. Letterlijk alles kan in het enneagram worden gelegd en eruit worden gelezen. Iemand kan zich moederziel alleen in de woestijn bevinden, maar als hij het enneagram in het zand tekent kan hij er de universele wetten van de schepping uit aflezen. En iedere keer als hij dat doet kan hij er iets uit leren, iets dat hij eerder nog niet wist. Als twee mensen die verschillende scholen hebben bezocht elkaar ontmoeten, kunnen zij het enneagram tekenen en zullen zij met behulp daarvan in staat zijn uit te maken wie van hen de meeste kennis bezit en dientengevolge op een hoger plan staat. Zo weten zij wie de wijzere is, wie de leraar en wie de leerling... Het enneagram is een schematisch diagram van een eeuwigdurende beweging.”

De Franse filosoof R.A. Schwaller de Lubicz, vult bovenstaande citaat in zijn boek "Le Temple de l'Homme" aan met de volgende tekst:
Esoterisch gezien is de mathematische relatie waarin een getal zich tot de Eenheid verhoudt de sleutel tot de aard van dat getal, omdat alle getallen als delen van de Eenheid moeten worden beschouwd. Zowel het getal Drie als het getal Zeven zijn getallen van de "eeuwigdurende beweging". Als zij in eenheden worden verdeeld, laten zij zich tot het oneindige delen.
1 : 3 = 0,333333333333
1 : 7 = 0,142857142857

De ideeën van Gurdjieff met betrekking tot de "eeuwigdurende beweging" van de getallen drie en zeven is ook gebaseerd op bovenstaande tekst. Zowel Gurdjieff als de Lubicz maken hier de fout dat de repeterende eigenschappen van deze breuken absoluut zijn. De repeterende eigenschappen van breuken worden namelijk bepaald door het talstelsel waarin een deling wordt uitgevoerd. Als je b.v. de deling 1 : 7 uitvoert in het veertientallig stelsel komt er exact 0,2 als antwoord uit. Als je voor deze deling b.v. het negentallig stelsel gebruikt ontstaat de repeterende breuk 0,125125…  Daar het ontwerp van het enneagram volledig gebaseerd is op het tientallig positie stelsel kan het nooit ouder zijn dan de kennis van het delen in het tientallig positie stelsel. Het tientallig positie stelsel werd volgens Singer in Europa ingevoerd zo rond het jaar 1100. De Arabische cijfers en het tientallig stelsel waar wij mee werken zijn zo rond 200 v.Chr. door Hindoes ontwikkeld. Dit systeem is door de Arabieren verder ontwikkeld en pas rond het jaar 800 door hen goedgekeurd waarna het via Spanje in Europa terecht gekomen is. Voor 1600 werd voor het rekenen met niet-gehele getallen normaal gesproken gewerkt met algemene breuken, gebaseerd op handige noemers. Er waren wel gestandaardiseerde methoden die met 60-tallige breuken werkten, maar over het algemeen was het heel moeilijk om aan de breuk te zien in hoeverre die het gewenste niet-gehele getal werkelijk benaderde. Decimale breuken werden al wel gebruikt, maar alleen om te kunnen worteltrekken. In het dagelijks leven werkte men daar niet mee. In 1586 schreef Simon Stevin zijn beroemde werk De Thiende, waarin hij het algemeen gebruik van breuken op basis van het tientallig positie stelsel beschreef. Hij gebruikte daarvoor nog niet de notatie met een decimale punt of decimale komma zoals wij dat nu doen, maar een notatie waar achter elk cijfer in een cirkel de (negatieve) macht van 10 kwam te staan die op dat cijfer van toepassing was. Wat wij nu als 6,87 schrijven, schreef Simon Stevin als 6⓪8①7②. Pas toen Bartholomaeus Pitiscus in zijn trigonometrische tabellen in 1612 de decimale scheiding in de vorm van een punt gebruikte en dit gebruik in 1614 door John Napier in zijn artikelen over logaritmen werd erkend, werd de huidige notatie van de decimale breuk in gebruik genomen. De conclusie die ik hier uit trek is dat het enneagram pas na 1600 is ontstaan.

Gurdjieff beweerde zijn kennis met betrekking tot het Enneagram opgedaan te hebben bij de soefi’s. Het Soefisme is de mystieke tak van de Islam en stamt vermoedelijk al uit de tijd van de Profeet Mohammed zo rond het jaar 610. Ook de soefi’s baseren hun denken op de Koran en andere geschriften van de Islam. Daar deze geschriften al bestonden voor het jaar 800, het tijdvak waarin het tientallig stelsel in Arabië ontwikkeld is, mag dus aangenomen worden dat er geen kennis met betrekking tot het Enneagram in deze geschriften te vinden is. De enige mogelijkheden die dan over blijven zijn: De soefi’s hebben dit systeem ontwikkeld na het ontdekken van de repeterende eigenschappen van decimale breuken en zijn dit systeem gaan gebruiken naast hun reguliere leidraad, of Gurdjieff heeft zelf dit systeem ontworpen na kennisneming van deze eigenschappen. De eerste mogelijkheid is zeer onwaarschijnlijk omdat het Enneagram dan al veel eerder bekend zou zijn geweest. De enige conclusie is dat Gurdjieff dit systeem zelf bedacht heeft, waarmee het systeem niet veel ouder is dan 100 jaar.

Onderstaande het Enneagram zoals dat tegenwoordig gebruikt wordt.

Na deze lange inleiding wil ik nu eerst het Enneagram zoals dat gebruikt wordt in het alternatieve circuit aan een analyse onderwerpen. De figuur bestaat uit twee afzonderlijke delen, waarvan alleen het deel dat gevormd wordt door de deling 1 : 7 berekend kan worden, de driehoek die de figuur completeert is er gewoon bij verzonnen. Er bestaat geen enkele deling met gehele getallen die deze driehoek kan vormen. De figuur die door de deling 1 : 7 word gevormd wordt ook niet correct weergegeven. De figuur is getekend in een cirkel met 9 punten, terwijl het tientallig stelsel 10 getallen heeft, de nul telt namelijk ook mee. Onderstaande is de figuur te zien zoals het hoort. Het probleem is nu dat de resterende punten geen driehoek meer vormen. Ook de naamgeving klopt dan niet meer, omdat ennea namelijk negen betekent. De oorspronkelijke figuur is met voorbedachten rade geschonden om een mooiere coherente symmetrie te krijgen.

De bovenstaande versie van het Enneagram is evt. wel te complementeren met een figuur dat door deling is ontstaan. Voor deze aanvulling moet echter gebruik gemaakt worden van een deling die niet echt elegante oogt. Onderstaande figuur, die er op zich best aardig uitziet,  laat zien dat voor deze oplossing gebruik gemaakt wordt van de deling 4 / 101.

De eigenschappen symmetrie en herhaling van de deling 1 : 7 zijn niet uniek. Een groot gedeelte van de delingen met een repeterend karakter hebben deze eigenschappen gemeen. Een gedeelte van de delingen met een repeterend karakter geeft een figuur dat niet symmetrisch maar heeft dan een figuur met een spiegelsymmetrie dat ontstaat uit een andere deling. Onderstaande enkele voorbeelden van delingen die een symmetrisch figuur geven.

Onderstaande twee voorbeelden van niet symmetrische figuren met hun spiegelsymmetrie.

De deling 1 / 7 geeft in meerdere talstelsel het Enneagram. De enige afwijkende figuur is in het 5tallig stelsel.
De tussenliggende gehele waarden leveren geen symetrisch figuur op.

Ook een deel van het Enneagram kan geconstrueerd worden vanuit getallenreeksen. De reeksen die daar voor in aanmerking komen ontstaan door herhaald vermenigvuldigen van de voorgaande waarde in de reeks. Onderstaande figuur met als vermenigvuldigingsfactor 5 laat zien hoe dit in zijn werk gaat. Als de modulowaarde een zevenvoud is, is er ook altijd een startwaarde en vermenigvuldigingsfactor te vinden die het Enneagram deel oplevert. Door de modulowaarde 7 is het aantal punten ook 7, en is de naam Enneagram niet correct meer.