Homepage » Talstelsels

 

Talstelsels

 

Er is een groot verschil tussen de presentatie van een getal en de wezenlijke waarde van dat getal. Wij zijn gewoon om getallen weer te geven in het tientallig stelsel. Deze weergave is handig voor het praktisch rekenen maar zodra je de structuur van een getallenreeks wilt bestuderen zit je vast aan de beperkingen van dit talstelsel. De processen in de natuur zijn namelijk niet talstelsel gericht. Ons denken is echter zo tientallig geïndoctrineerd dat we niet eens beseffen dat we ook in een ander talstelsel kunnen denken. Voor het bestuderen van getallenreeksen is het dan ook handig als je de mogelijkheid hebt om een reeks in ieder willekeurig talstelsel weer te kunnen geven. Het probleem met talstelsels is echter dat het aantal symbolen groeit met het groter worden van het talstelsel. In het hexadecimale stelsel is dit opgevangen door de getallen 10 t/m 15 te vervangen door de letters A t/m F. Deze manier van werken heeft een aantal praktische voordelen maar kan niet oneindig uitgebreid worden. Bovendien is het voor de decimaal denkende mens niet echt werkbaar. Het probleem is zeer goed op te lossen door gebruik te maken van het programma Excel. In onderstaande voorbeeld zie je in de kolom “Getallen reeks” 6 decimale getallen weergegeven. Deze getallen worden in de kolommen K t/m R als hexadecimale getallen met een decimale presentatie weergeven zonder gebruik te maken van de letters A t/m F. In de kolom R zijn de eenheden weergegeven, in kolom Q de 16 tallen, in kolom P de 162 getallen, enz.. Deze manier van werken is in wezen oneindig uit te breiden met behoud van overzicht.

gratis downloaden van de sheet talstelsels

 

talstelsel16.large.jpg

 

In onderstaande figuur zie je de zelfde getallen als in de bovenstaande figuur maar nu in het 10 tallig stelsel. De kolommen B t/m H zijn hulpkolommen voor de berekening en geven de voorgaande waarde van de gehele deling, geheel gedeeld door het talstelsel weer. Doordat we gewend zijn decimaal te denken geeft onderstaande voorbeeld het meeste duidelijkheid.

 

talstelsel10.large.jpg

 

Voor de volledigheid nog een voorbeeld met de zelfde getallen in een afwijkend talstelsel, het 53tallig stelsel.

talstelsel53.large.jpg

 

Voor diegene die wat problemen heeft met formules in Excel geef ik nog even de opbouw weer van de sheet met formules. In het voorbeeld zijn maar 6 getallen gebruikt, maar de formules kun je zonder problemen door kopiëren tot het maximum van de scheet. Voor Excel 2003 is dit  65536, voor Excel 2007 is dit zelfs 1048576. In wezen is het voldoende om de formules in rij 3 in te typen en deze naar onder toe door te kopiëren.

 

talstelsel-links.large.jpg
talstelsel-rechts.large.jpg

 

 

In onderstaande voorbeeld is een gedeelte van de vijfhoeksgetallen weergegeven in het 53tallig stelsel. De grafiek onder dit voorbeeld geeft de rechter kolom, 'kolom R' van het resultaat weer. Deze kolom is in feite de modulo 53 waarde van het vijfhoeksgetal uit kolom I. De rechter kolom met eenheden herhaald zich steeds na 53 stappen. Zie ook de pagina "Veelhoeksgetallen"

 

talstelsel-5hoeksgetallen.large.jpg
vijfhoeks-modulo-53.large.jpg

 

Zeer bijzonder is het onderstaande voorbeeld met de reeks van Fibonacci in het 610-tallig stelsel. Als je de reeks met getallen in kolom Q (de 610 tallen) tot een spiraal wikkelt met 2 kolommen zoals het voorbeeld op de pagina "Fibonacci 170" en je maakt een grafiek van het rechter gedeelte van de spiraal dan ontstaat er een verzameling kleine bijna symmetrische patronen. Zodra je de patronen uit gaat vergroten zie je pas dat de symmetrie niet volledig is. Onder de tabel is een gedeelte van deze grafiek weergegeven.

fibo-mod-640-2e-rij-r2.large.jpg

Onderstaande grafiek is maar voor een klein gedeelte met bovenstaande sheet te realiseren. De getallen in de reeks van Fibonacci groeien zo explosief dat je al snel een data foutmelding krijgt. Voor onderstaande grafiek heb ik een speciale sheet ontwikkeld met de naam Fibonacci Mega welke je gratis kunt downloaden.

fibo-mod-640-2e-rij.large.jpg

Onderstaande is de 2e figuur uit bovenstaande grafiek uitvergroot.
Zoals te zien is, is het linker gedeelte van de grafiek steeds 1 kleiner.

fibo-mod-640-2e-rij-2e-fig.large.jpg

Indien je in de sheet "Fibonacci Mega" een waarde uit de reeks van Fibonacci als talstelsel gebruikt, zal er steeds een reeks met bijna symmetrische grafieken ontstaan. Onderstaande nog een voorbeeld in het 987tallig stelsel.

fibografiek.large.jpg